\documentclass{beamer}[10]
\usepackage{pgf}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{beamerthemesplit}
\usepackage{graphics,epsfig, subfigure}
\usepackage{url}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{hyperref}

\definecolor{kugreen}{RGB}{50,93,61}
\definecolor{kugreenlys}{RGB}{132,158,139}
\definecolor{kugreenlyslys}{RGB}{173,190,177}
\definecolor{kugreenlyslyslys}{RGB}{214,223,216}
\setbeamercovered{transparent}
\mode<presentation>
\usetheme[numbers,totalnumber,compress,sidebarshades]{PaloAlto}
\setbeamertemplate{footline}[frame number]

  \usecolortheme[named=kugreen]{structure}
  \useinnertheme{circles}
  \usefonttheme[onlymath]{serif}
  \setbeamercovered{transparent}
  \setbeamertemplate{blocks}[rounded][shadow=true]

\logo{\includegraphics[width=1.5cm]{billeder/logo}}
%\useoutertheme{infolines}
\title{Dæmpning af seismiske bølger}
\author{Thomas R. N. Jansson}
\institute{Niels Bohr Institute \\ University of Copenhagen}
\date{21 December 2007}



\begin{document}
\frame{\titlepage \vspace{-0.5cm}
}

\frame
{
\frametitle{Oversigt}
\tableofcontents[pausesection]
}

\section{Indledning}
\frame{ \frametitle{Seismiske Bølger}
\begin{center}
\includegraphics[height = 0.45\textheight]{./billeder/Pwave} \\
\includegraphics[height = 0.45\textheight]{./billeder/Swave}  
\end{center}
}

\frame{ \frametitle{Seismiske Bølger}
\begin{center}
\includegraphics[height = 0.45\textheight]{./billeder/Love} \\
\includegraphics[height = 0.45\textheight]{./billeder/Rayleigh}  
\end{center}
}

\frame{ \frametitle{Jordens opbygning}
\begin{center}
\includegraphics[width = 0.8 \textwidth]{./billeder/platetectonics} 
\end{center}
}

\frame{ \frametitle{Indledning}
Selv om der er sket en drastisk udvikling inden for elastisk tomografi inden for de sidst årtier er udviklingen af anelastisk tomografi været langsom, da det er meget svært at trække dæmpningsdata ud af amplituder af seismiske bølger.
\begin{center}
\includegraphics[width = 0.8 \textwidth]{./billeder/seismogram} 
\end{center}
}


\section{Teori}
\frame{ \frametitle{Teori}
I en ideel ren elastisk jord bliver bølger dæmpet p.g.a.
\begin{itemize}
 \item Geometrisk spredning. Energi per areal, $\frac{1}{r^2}$; amplitude, $\frac{1}{r}$
 \item Reflektion og transmission ved grænselag.
\end{itemize}

I den virkelige jord dæmpes seismiske bølger p.g.a. energitab ved:
\begin{itemize}
 \item Spredning fra små hetrogeniteter.
 \item Elastiske fokuserings effekter langs strålegangen.
 \item Bevægelse fortrukne akser i mineraler.
 \item Opvarmning ved bevægelser af korn i materialet.
\end{itemize}
De sidste 2 kaldes under et for intern friktion. }

\subsection{Dæmpet oscillator}
\frame{ \frametitle{Simple beskrivelse af dæmpning}
Dæmpning kan på den simpleste måde skrives ved en dæmpet harmonisk oscillation:
$$
m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + k x = 0  \quad \textrm{eller} \quad \ddot{x} + \epsilon \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0,
$$
hvor $\epsilon = \gamma/m \omega_0$ og $\gamma$ er friktions koefficienter og $\omega_0 = (k/m)^{1/2}$ er den ``naturlige'' frekvens af systemet. Løsningen til sådan en ligning er:
$$
x(t) = A_0 e^{-\epsilon \omega_0 t} \sin \left( \omega_0 t \sqrt{1 - \epsilon^2} \right)
$$
Ledet $ A_0 e^{-\epsilon \omega_0 t} = A (\epsilon) $ beskriver dæmpningen og ved $\epsilon = 0 $ er der ingen dæmpning.
}

\subsection{$Q$}
\frame{ \frametitle{Kvalitetsfaktoren $Q$}
Friktionskoefficienten $\epsilon$ kan udtrykkes ved en kvalitetsfaktor, $Q$:
$$
\epsilon = 1/2Q \Rightarrow A(t) = A_0 e^{- \omega_0 t / 2 Q}
$$
$Q$ defineres som andelen af den totale energi tabt per oscillation:
$$
Q^{-1} = \frac{- \Delta E }{2 \pi E} \quad
$$
$Q$ er omvendt proportionalt med styrken af dæmpningen. $- \Delta E$ er energitabet er cycle. Store værdier af Q angiver lav dæmpning og værdier tæt på 0 angiver meget høj dæmpning.
}

\frame{ \frametitle{$Q$ og frekvens}
Skriver man amplituden som funktion af afstand i stedet
$$
A(x) = A_0 e^{(- \omega / 2 Q v ) x}
$$
hvor $\omega$ er frekvensen er det klart at for fastholdt $Q$ bliver bølger med højere frekvens dæmpet mere end bølger med lavere frekvens. Hvilket giver mening, da en høj frekvent bølge vil oscillere mere end i samme tidsrum. En puls vil også blive ``glattere'' og bredere når de høfrekvente komponenter bliver fjernet.
}


\subsection{Frekvens}
\frame { \frametitle{Frekvensafhængigheden}
Q variere næsten ikke med frekvensen mellem 0.001 og 1 Hz, men ved højere er der en sammenhæng:
\begin{center}
\includegraphics[width = 0.7 \textwidth]{./billeder/frequency} 
\end{center}
}

\frame { \frametitle{Frekvensafhængighed}
For at kunne behandle frekvensafhængigheden skal fjedermodellen modificeres. \\

Ser nu på to fjedre og en anelastisk (viskøst) element. Hvis der bliver trukket i den ene ende vil fjederne reagere med modsat rettet kræft, $F$, men over tid vil $F$ mindskes, mens det anelastiske element afslappes. Denne reduktion af $F$ er irreversibel og systemet er anelastisk.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{./billeder/spring}
\end{center}
}

\frame { \frametitle{Frekvensafhængighed}
Dette system kan beskrives ved følgende ligning:
$$
\sigma + \tau_{\sigma} \dot{\sigma} = M_r ( \epsilon + \tau_{\epsilon} \dot{\epsilon})
$$
hvor $\tau_{\sigma}$ og $\tau_{\epsilon}$ er stress og strain relaxation times, altså den karakteristiske det tager for afslapning. $M_r$ er relaxed elastic modulus, hvilket indikere stivheden af systemet.
Opskrives $Q$ med dette udgangspunkt fremgår det at den $Q$ afhænger af frekvensen
$$
\frac{1}{Q(\omega)} = \frac{\delta M }{ M_r } \frac{\omega \tau_{\sigma}}{1 + \omega^2 \tau_{\sigma}^2}
$$
hvor $\delta M = \tau_{\epsilon} M_r/\tau_{\sigma} - M_r $ er det unrelaxed elastic modulius.
}

\frame { \frametitle{Frekvensafhængighed}
\begin{itemize}
 \item Hver eneste afslapningsmekanisme i jorden har et Derbye peak.
 \item Hvorfor er $Q$ næsten konstant mellem 0.001 og 1Hz? På grund af den store variation og de store skalaer af dæmpningsprocesser i jorden. Det er en superposition af en række derbye peaks, hvilket effektivt giver et absorbtionsbånd.  
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[width=.45\textwidth]{./billeder/derbye}
\includegraphics[width=.45\textwidth]{./billeder/derbye-many}
\end{center}
}

\subsection{$Q$'s egenskaber}
\frame{ \frametitle{Egenskaber ved $Q$}
\begin{itemize}
\item Tilstedeværelsen af vand kan drastisk øge dæmpning og mindske viskositeten.
\item Mindre kornstørrelser giver øger dæmpningen.
\item Højere temperature giver også øget dæmpning.
\item $Q$ er højere for P- ($Q_{\alpha}$) end S-bølger ($Q_{\beta}$). Altså mindre dæmpning af P-bølger. $ Q_{\alpha} \approx \frac{9}{4} Q_{\beta}  $
\item Generelt stiger $Q$ værdien for materialer med højere densitet og hastighed.
\item Typiske værdier:
\begin{description}
 \item[Granit] $Q_{\alpha}$: 250, $Q_{\beta}$: 70-150
 \item[Sandsten] $Q_{\alpha}$: 58, $Q_{\beta}$: 31
 \end{description}
\end{itemize}
}


\subsection{Bestemmelse}
\frame{ \frametitle{Hvordan bestemmes $Q$?}
\begin{columns}

\begin{column}{0.7 \textwidth}
Den mest normale måde at bestemme $Q$ er ved at sammenligne amplitude og frekvens indhold af to seismiske bølger der har rejst samme vej. Dette udelukker ukendte kildeeffekter.

En S-bølger som rejser ned til kernen vil ved grænselaget blive reflekteret og blive til en P og en S bølge. Disse ankomster ScP og ScS vil rejse samme vej, men da P bølger har størrer Q, så bliver den dæmpet mindre og være mere skarp.

Hvis der tager hensyn til reflektionskoefficienterne kan gennemsnits værdier ned til kappen for $Q_{\alpha}$ og $Q_{\beta}$ bestemmes.
\end{column}

\begin{column}{0.3\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=1\textwidth]{./billeder/attenuation}
\end{center} 
\end{column}
\end{columns}
}

\subsection{$t^{*}$}
\frame{\frametitle{Hvordan man tager højde for dæmpning}
Dæmpning kan modelleres ved at bruge $t^{*} = \frac{t}{Q}$, hvor $t$ er den totale rejsetid og $Q$ gennemsnittet over vejen. $Q$ variere ofte med dybden, så det skrives normalt som et integrale:
$$
t^{*} = \int_{\mathrm{path}} \frac{\mathrm{d}t}{Q} \approx \sum_{i=1}^{N} \frac{t_i}{Q_i}
$$
Dette sættes ind i udtrykket for amplituden:
$$
A(\omega) = A_0(\omega ) e^{-\omega t^{*} / 2}
$$
For en given frekvens kan dæmpningen langs vejen altså udregnes. For høje frekvenser bliver som nævnt tidligere altså dæmpet mere end lave.
}


\subsection{Tomografi}
\frame {\frametitle{Tomografi}
Vi observere et seismogram og vil gerne finde jordstrukturen der gav andledning til dette. Et inverst problem. $\mathbf{d}$ er data,  $\mathbf{G}$ sammenhængen mellem data og model,  $\mathbf{m}$ model vi gerne vil finde.  
$$
\mathbf{d} = \mathbf{G} \cdot \mathbf{m} 
$$ 
Kan løses på mange måder. F.eks. dæmpede mindste kvadraters metode. Minimering af afstanden mellem misfit'tet og normen af modellen
$$
\mid \parallel \mathbf{d_{obs}} - \mathbf{g}(\mathbf{m_{\epsilon}}) \parallel^2 - N \sigma^2 \mid
$$
med hensyn til $\epsilon$ for at kunne finde det bedste løsning
$$
\mathbf{m}_{\epsilon} = \left[ \mathbf{G}^T\mathbf{G} + \epsilon_{min}^2+\mathbf{I} \right]^{-1} \mathbf{G}^T d_{obs}
$$
}

\frame{ \frametitle{Eksempel: Rejsetidsanomali}
At bestemme strukturen under jorden ved rejsetidanomalier. 2 jordskælv og 10 seismografer.
\begin{center}
\includegraphics[width = 0.5 \textwidth]{./billeder/invers-problem}
\end{center}
}

\frame {\frametitle{Eksempel: Rejsetidsanomali}
Billedet viser den sande struktur til venstre og den mindst sandsynlige genfundne struktur ved at regne tilbage fra rejsetidsanomalierne.
\begin{center}
\includegraphics[width = 0.8\textwidth]{./billeder/inverse}
\end{center}
Hvis vi skulle have set på dæmpning i stedet skulle vi først have lave et mål for dæmpningen for hver stråle ved f.eks. at vurdere ScS og ScP ankomsters amplituder og frekvensindhold.

}


\section{Enormt ``Ocean'' under Asien?}
\frame{ \frametitle{Enormt ``Ocean'' under Asien?} 
\includegraphics[width = 0.9 \textwidth]{./billeder/web}
}

\frame { \frametitle{Enormt ``Ocean'' under Asien?}
\begin{block}{Artiklen}
Lawrence, J. F., and M. E. Wysession, \textbf{Seismic evidence for subduction-transported water in the lower mantle}, Earth's Deep-Water Cycle, AGU Monograph, \textbf{2006}, 251-261.
\end{block}
Jeg har valgt denne artikel som eksempel, da den viser spændende lidt kontroversiel del af dæmpnings tomografi.
}

\frame {\frametitle{Vigtigste elementer fra artiklen}
\begin{itemize}
\item Laveste $Q$ værdi i hele kappen er under Beijing i toppen af den nedre kappe.
\item ``Ocean'' lidt voldsomt - nogle stentyper kan indeholde mellem 1 til 2000-4000 ppm (vægt) vand.
\item Anomalien har en størrelse på $1.8 \cdot 10^{10} \textrm{km}^3$ og med 0.1\% vand ville det svare vandet i det arktiske ocean.
\item På grund af kappens store volumen estimeres den nedre kappe til at indeholde 1 til 5 gange af alt vandet på jorden.
\item Hvis det ikke var p.g.a. subduktion ville delvis smeltning transportere vandet væk fra den nedre kappe.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Enormt ``Ocean'' under Asien?} 
\includegraphics[width = 1 \textwidth]{./billeder/vand}
}


\frame{\frametitle{Enormt ``Ocean'' under Asien?}
\begin{itemize}
\item Nyelige undersøgelser af mineraler viser at store mængder vand kan transporteres ned med subduktion.
\item Store koncentration af vand ( $>>500$ ppm) eksistere i ocean skorpen og lithospheren, men det er svært at vurdere hvor meget.
\item En kontroversiel teori fremhæver at grunden til den store dæmpning i athenosfæren skyldes at den netop \underline{ikke} er delvist smeltet og derfor kan indholde mere vand.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Observationerne og metoden}
\begin{itemize}
\item Undersøgelsen er baseret på 80.000 målinger af 898 forskellige jordskælv.
\item For hvert seismogram blev den differentielle rejsetid og dæmpning udregnet mellem den første S-bølgen og den efterfølgende (S, Sc, ScS \ldots).
\item Det meste interessant fra deres undersøgelse er et stort område under Asien med lave Q værdier i en dybde af 700 til 1400 km.
\item Som det kunne ses på figuren, så viste en skakbrætstest at det er tilstrækkeligt med data til at kunne opløse anomalien.
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Enormt ``Ocean'' under Asien?} 
\begin{center}
\includegraphics[width = 0.8 \textwidth]{./billeder/vand1} 
\end{center}
}

\frame{\frametitle{Er anomalien ægte?}
\begin{description}
\item[Fokusering] andre undersøgelser, der overlapper, stemmer overens med data.
\item[Spredning] har nok en effekt, men ikke i en grad så Q falder fra 300 til 100.
\item[Kornstørrelse] Over den subdukterede lithosfære i toppen af den nedre kappe er kornstørrelsen måske mindre, men ved sammenligning med andre subdukterende plader har man ikke fundet samme effekt.
\item[Temperatur] Øget temperatur ville øge dæmpningen, men også hastigheden og det er ikke observeret.
\end{description}
}

\frame{\frametitle{Vand?}
\begin{itemize}
\item For at vand kan blive transporteret ned i kappen skal temperatuen være under 1000 grader.
\item Stillehavspladerne er meget kolde og bringer effektivt koldt materiale ned i jorden.
\item Mængde af vand behøves ikke at være meget stor og det vigtigste den relative vand mængde. Forøges vandmængden 10-20 gange kan Q falde fra 300 til 100.
\item En stor stigning i vandmængden burde ikke give anledning til en stor ændring seismiske hastigheder, hvilket passe godt sammen med dataene. \end{itemize}
}


\section{Referencer}
\frame{\frametitle{Referencer}
\tiny
\begin{block}{Referencer}
\begin{itemize}
\item P. M. Shearer, \textbf{Introduction to seismology}, 1999.
\item T. C. Wallace and T. Lay, \textbf{Modern global seismology}, 1995.
\item Lawrence, J. F., and M. E. Wysession, \textbf{Seismic evidence for subduction-transported water in the lower mantle}, Earth's Deep-Water Cycle, AGU Monograph, \textbf{2006}, 251-261.
\item P. W. Burton, J. D. Bennel, \textbf{$Q^{-1}$ and lithospheric thickness}, Earth and planetary science letter, 30, \textbf{1976}, 151-154.
\item S. Gregersen, F. Vaccari, \textbf{Lg-wave modelling for the North Sea}, 114, \textbf{1993}, 76-80.
\item B. Romanowicz, \textbf{On the measurement of anelastic attenuation using amplitudes of low frequency surfaces waves.}, Physics of the earth and planetary interiors, 84, \textbf{1994}, 179-191.
\item L. Ottem\"{o}ller, \textbf{Lg wave Q tomography in Central America}, Geophys. J. Int., 150, \textbf{2002}, 295-302.
\item C. A. Dalton, G. Ekstr\"{o}m, \textbf{Global models of surface wave attenuation}, 111, \textbf{2006}, B05317.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{tjansson.dk}
Dette foredrag vil være at finde på siden \url{www.tjansson.dk}.
\end{block}
}

\end{document}